Números Binários

Toda informação num computador é composta por bits, a palavra bit é na verdade uma sigla para o termo em inglês BInary DigiT, que em português seria “digito binário”.

Binário vem do número dois, “bi”, indicando uma existência de apenas dois algarismos diferentes 0 e 1.

É importante lembrar que é comum utilizarmos os prefixos conforme listado no capítulo sobre literais para diferenciar os sistemas númericos :

• 0b para binário
• 0 para octal
• Nenhum para decimal
• 0x para hexadecimal

O sistema binário compartilha algumas características em comum com os sistemas númerico octal, decimal e hexadecimal:

1. Existe um número limitado de símbolos usados para representar um algarismo
2. Ao incrementar o valor de um algarismo, quando não houver símbolos para representá-lo como um algarismo de valor maior, podemos voltar aquele algarismo para 0 e incrementar o algarismo a esquerda (ou adicionar um algarismo 1 caso não haja algarismo a esquerda)
3. O símbolo 0 é usado para indicar um algarismo de valor nulo

Quanto a declaração 1. é fácil de percebê-la ao analisarmos os algarismos presentes nos diferentes sistemas:

• Binário : 0 e 1
• Octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
• Decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Hexadecimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Já quanto a declaração 2., podemos ver por exemplo ao analisar a tabela abaixo:

É fácil ver como os números “voltam” para 0 e incrementam o algarismo a esquerda quando não há mais símbolos para representar o próximo, e o nosso sistema decimal com o qual estamos tão acostumados faz exatamente a mesma coisa.

Quanto a 3., em todos os sistemas númericos, o número 0 indica um valor nulo e adicionar 0 a qualquer número não modifica seu valor, isso é um ponto importante que todos sistemas númericos citados compartilham.

Uma forma interessante de pensar para lermos o valor de qualquer número, é que cada algarismo tem um valor igual a

\[Valor*Tamanho^{Posição}\]

• Valor é o valor individual do algarismo
• Tamanho é a quantidade de símbolos que o sistema númerico tem (2 para binário, 8 para octal, 10 para decimal, etc)
• Posição é posição do algarismo da direita para esquerda, iniciando em 0.

A mesma regra se aplicar a números decimais, por exemplo, no número 342, podemos decompor ele como 3*10^2 + 4*10^1 + 2*10^0 que seria 300 + 40 + 2, resultando em 342.

Logo podemos decompor o número binário 0b101na expressão 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0, que pode ser decomposto em 4 + 0 + 1 resultando em 5.

Chamamos essa forma de notação posicional.

Conversão binário para decimal

Como números binários só tem 2 algarismos, podemos simplificar um pouco o pensamento na hora de realizar o cálculo para converter números binários para decimal.

A técnica utilizada continua sendo a de pegar cada algarismo e avaliar seu valor usando a notação posicional, porém como só temos dois valores possíveis (0 ou 1), podemos facilitar a conversão escrevendo previamente o resultado das potências de dois.

Considere a conversão do número binário 0b101101 para decimal :

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 //Potências de dois em decimal
                               1  0 1 1 0 1 //Número binário

Todos os algarismos em 1 representam números decimais que serão adicionados no cálculo, logo 0b101101 é 32 + 8 + 4 + 1 que resulta em 45.

Podemos aplicar a mesma lógica para números maiores como 0b11010101 :

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 //Potências de dois em decimal
                         1  1  0  1 0 1 0 1 //Número binário

Com isso teremos 128 + 64 + 16 + 4 + 1 que resulta em 213.

Conversão decimal para binário

Existem duas formas de converter:

• Utilizando a técnica da notação posicional (fácil para números menores)
• Utilizando divisão (ideal para convertermos números grandes ou para quem prefere um método que serve bem para qualquer caso)

Conversão com notação posicional

Para realizar a conversão, podemos escrever as potências de 2 e ir diminuindo a maior potência de dois que seja maior ou igual ao número, anotando um 1 em cada potência usada e 0 nas que não foram utilizadas.

Repetimos o passo até que o número resultante das subtrações seja 0.

Por exemplo, para converter 55 podemos fazer :

64 32 16 8 4 2 1
 0  1  1 0 1 1 1

//De forma simplificada
55 - 32 = 23 - 16 = 7 - 4 = 3 - 2 = 1 - 1 = 0

//Passo a passo
55 >= 64 ? 0
55 >= 32 ? 1 (55-32 = 23)
23 >= 16 ? 1 (23-16 = 7)
7  >= 8  ? 0
7  >= 4  ? 1 (7-4 = 3)
3  >= 2  ? 1 (4-2 = 1)
1  >= 1  ? 1 (1-1 = 0)

Agora vamos converter 5000 utilizando o mesmo método :

4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1
   1    0    0   1   1   1  0  0  0 1 0 0 0

5000 - 4096 = 904 - 512 = 392 - 256 = 136 - 128 = 8 - 8 = 0

Conversão com divisão

Outra forma de implementar consiste em realizar divisões por 2 e utilizar os restos da divisão como digitos, o único porém é que os digitos estarão em ordem inversa.

Por exemplo, para convertermos o número 56 para binário (usaremos % como operador de módulo):

//Operações iniciais (resto e divisão)
56 % 2 = 0 (56/2 = 28)
28 % 2 = 0 (28/2 = 14)
14 % 2 = 0 (14/2 = 7)
7  % 2 = 1 (7/2  = 3)
3  % 2 = 1 (3/2  = 1)
1  % 2 = 1 (1/2  = 0)

//Agora precisamos ler os resultados dos restos de baixo para cima
//resultando em 111000

56       //Decimal
0b111000 //Binário

Agora vamos converter um número maior, 9872 :

//Operações iniciais (resto e divisão)
9872 % 2 = 0 (9872/2 = 4936)
4936 % 2 = 0 (4936/2 = 2468)
2468 % 2 = 0 (2468/2 = 1234)
1234 % 2 = 0 (1234/2 = 617)
617  % 2 = 1 (617/2  = 308)
308  % 2 = 0 (308/2  = 154)
154  % 2 = 0 (154/2  = 77)
77   % 2 = 1 (77/2   = 38)
38   % 2 = 0 (38/2   = 19)
19   % 2 = 1 (19/2   = 9)
9    % 2 = 1 (9/2    = 4)
4    % 2 = 0 (4/2    = 2)
2    % 2 = 0 (2/2    = 1)
1    % 2 = 1 (1/2    = 0)

//De forma que 
9872             //Decimal
0b10011010010000 //Binário